сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

У Васи есть не­огра­ни­чен­ный запас брус­ков 1 \times 1 \times 3 и угол­ков из трёх ку­би­ков 1 \times 1 \times 1. Вася це­ли­ком за­пол­нил ими ко­роб­ку m \times n \times k, где m, n и k  — целые числа, боль­шие 1. До­ка­жи­те, что можно было обой­тись лишь угол­ка­ми.

 

(Ми­ха­ил Ев­до­ки­мов)

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Так как mnk де­лит­ся на 3, то один из мно­жи­те­лей де­лит­ся на 3; пусть это вы­со­та k. До­ста­точ­но за­пол­нить ко­роб­ку m \times n \times 3 . Из двух угол­ков можно сло­жить кир­пич 1 \times 2 \times 3 . Если m n чётно, то ос­но­ва­ние ко­роб­ки можно раз­бить на до­ми­нош­ки 2 \times 1 и по­ста­вить на них по кир­пи­чу, за­пол­нив тем самым ко­роб­ку. Иначе разобьём ос­но­ва­ние ко­роб­ки на квад­рат 3 \times 3 и два пря­мо­уголь­ни­ка (воз­мож­но пу­стых), см. рис. Пря­мо­уголь­ни­ки разобьём на до­ми­нош­ки, а квад­рат  — как на ри­сун­ке. На до­ми­нош­ки по­ста­вим по кир­пи­чу, а в остав­ше­е­ся место по­ло­жим три угол­ка. Ко­роб­ка за­пол­не­на угол­ка­ми.