РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6603 Добавить в вариант

В выражении $левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2020 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x минус y минус z правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2020 правая круглая скобка$ раскрыли скобки и привели подобные члены. Сколько получилось одночленов $x в степени a y в степени b z в степени c$ с коэффициентом отличным от нуля?

Спрятать решение

Решение.

Пусть $t=y плюс z,$ тогда многочлен можно переписать $левая круглая скобка x плюс t правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2020 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x минус t правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2020 правая круглая скобка .$ Раскрываем обе скобки по бинома Ньютона и получаем

$левая круглая скобка x плюс t правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2020 правая круглая скобка =x в степени левая круглая скобка 2020 правая круглая скобка плюс a_1 x в степени левая круглая скобка 2019 правая круглая скобка t плюс \ldots плюс a_2019 x t в степени левая круглая скобка 2019 правая круглая скобка плюс t в степени левая круглая скобка 2020 правая круглая скобка ,$

$левая круглая скобка x минус t правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2020 правая круглая скобка =x в степени левая круглая скобка 2020 правая круглая скобка минус a_1 x в степени левая круглая скобка 2019 правая круглая скобка t плюс \ldots минус a_2019 x t в степени левая круглая скобка 2019 правая круглая скобка плюс t в степени левая круглая скобка 2020 правая круглая скобка .$

Складываем и получаем

$левая круглая скобка x плюс t правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2020 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x минус t правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2020 правая круглая скобка =2 левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка 2020 правая круглая скобка плюс a_2 x в степени левая круглая скобка 2018 правая круглая скобка t в квадрате плюс \ldots плюс a_2018 x в квадрате t в степени левая круглая скобка 2018 правая круглая скобка плюс t в степени левая круглая скобка 2020 правая круглая скобка правая круглая скобка .$ $левая круглая скобка x плюс t правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2020 правая круглая скобка плюс$
$плюс левая круглая скобка x минус t правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2020 правая круглая скобка =2 левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка 2020 правая круглая скобка плюс a_2 x в степени левая круглая скобка 2018 правая круглая скобка t в квадрате плюс \ldots плюс a_2018 x в квадрате t в степени левая круглая скобка 2018 правая круглая скобка плюс t в степени левая круглая скобка 2020 правая круглая скобка правая круглая скобка .$

Заметим, что при раскрытии разных $t_1 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка$ и $t_2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка$ у нас будут получаться разные одночлены (так как степени при x будут различны). Так же при раскрытии $t в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка$ у нас будет получаться $n плюс 1$ разных одночленов, следовательно, итоговый ответ будет

$1 плюс 3 плюс \ldots плюс 2019 плюс 2021=1011 в квадрате =1 022 121.$

Ответ: 1 022 121.

Аналоги к заданию № 6593: 6603 Все

Олимпиада Университета Иннополис Innopolis Open, 11 класс, 1 тур (отборочный) 2 этап, 2019 год

Классификатор: Алгебра. Многочлены (делимость, Безу, Виет, бином...)

Спрятать решение · Прототип задания · Помощь