РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6581 Добавить в вариант

Разность квадратов двух различных действительных чисел в 2014 раз больше разности этих чисел, а разность кубов этих чисел в 2014² раз больше разности этих чисел. Во сколько раз разность четвертых степеней этих чисел больше их разности?

Спрятать решение

Решение.

Из равенств $a в квадрате минус b в квадрате =n левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка$ и $a в кубе минус b в кубе =n в квадрате левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка$ (в задаче $n=2014 правая круглая скобка$ следует, что $a плюс b=n$ и $a в квадрате плюс a b плюс b в квадрате =n в квадрате .$ Возведя первое равенство в квадрат и вычтя из него второе, получим: $ab=0.$ Отсюда следует, что одно из чисел равно нулю, а другое равно п. Без ограничения общности $a=n$ и $b=0.$ Тогда

$a в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус b в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =n в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =n в кубе умножить на n=n в кубе левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка .$

Ответ: в $2014 в кубе$ раз.

Олимпиада школьников Физтех, 10 класс, 1 тур (отборочный), 2015 год

Классификатор: Алгебра: числа. Числа рациональные и иррациональные, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Помощь