РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6478 Добавить в вариант

Когда Маша начала решать задачу по математике, табло электронных часов показывало x часов k минут. Когда же задача была решена, табло показывало y часов n минут. Маша заметила, что k и n состоят из одних и тех же цифр, которые все отличны от нуля. Каковы возможные значения k, если на решение задачи ушло 6k минут?

Спрятать решение

Решение.

Пусть число минут $k=\overlineab=10 a плюс b,$ где a и b  — целые числа от 1 до 5. По условию, либо $n=k,$ либо $n=\overlineba=10 b плюс a.$ В первом случае имеем $k плюс 6 k=k плюс 60 i,$ где $i=y минус x.$ Это дает $k=10 i,$ что невозможно, поскольку k не может оканчиваться на ноль. Рассмотрим второй случай:

$левая круглая скобка 10 a плюс b правая круглая скобка плюс 6 левая круглая скобка 10 a плюс b правая круглая скобка = левая круглая скобка 10 b плюс a правая круглая скобка плюс 60 i равносильно$
$равносильно 69 a минус 3 b=60 i равносильно 23 a минус b=20 i равносильно 3 a минус b=20 левая круглая скобка i минус a правая круглая скобка .$ $левая круглая скобка 10 a плюс b правая круглая скобка плюс 6 левая круглая скобка 10 a плюс b правая круглая скобка = левая круглая скобка 10 b плюс a правая круглая скобка плюс 60 i равносильно$
$равносильно 69 a минус 3 b=60 i равносильно$
$равносильно 23 a минус b=20 i равносильно 3 a минус b=20 левая круглая скобка i минус a правая круглая скобка .$

Левая часть кратна 20 и может принимать значения только от −2 до 14. Поэтому она равна нулю. Тогда b кратно 3, откуда $a=1$ и $b=3.$ Таким образом, $k=13.$ Проверим ответ:

$13 плюс 6 умножить на 13=91=31 плюс 60,$

отсюда $n=31$ и $y=x плюс 1.$

Ответ: $k=13.$

Олимпиада СПБГУ, 11, 10 класс, 1 тур (отборочный), 2020 год

Классификатор: Алгебра. Текстовые задачи на целые числа

Спрятать решение · Помощь