РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6196 Добавить в вариант

Найдите такое наименьшее натуральное число, что его половина есть пятая степень некоторого целого числа, а пятая часть есть квадрат некоторого целого числа.

Спрятать решение

Решение.

Искомое число делится на 10, запишем его в виде $x=10 n.$ Так как $5 n=a в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка ,$ $2 n=b в квадрате ,$ то $2 a в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка =5 b в квадрате .$ Отсюда следует, что a кратно 5, пусть $a=5 p.$ Тогда $2 умножить на 5 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка p в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка =b в квадрате .$ Левая часть будет полным квадратом при минимальном $p=2.$ Поэтому $b в квадрате =2 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка умножить на 5 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка ,$ $n=2 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка умножить на 5 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка$ и $x=2 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка умножить на 5 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка .$

Ответ: $2 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка умножить на 5 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка .$

Олимпиада Покори Воробьевы горы!, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Алгебра: числа. Основная теорема арифметики, Алгебра: числа. Разные вопросы о целых числах

Спрятать решение · Помощь