РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6179 Добавить в вариант

Пусть x₁, x₂  — корни уравнения $x в квадрате минус x минус 3=0.$ Найдите $левая круглая скобка x в степени 5 _1 минус 20 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 3x в степени 4 _2 минус 2x_2 минус 35 правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

Если x  — один из корней уравнения, то $x в квадрате =x плюс 3.$ Возводя в квадрат, получим $x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =x в квадрате плюс 6 x плюс 9=7 x плюс 12.$ Умножив на x, получим $x в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка =7 x в квадрате плюс 12 x=19 x плюс 21.$ Подставляя вместо x корни уравнения, получим:

$левая круглая скобка x_1 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка минус 20 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 3 x_2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 2 x_2 минус 35 правая круглая скобка =19 x_1 плюс 21 минус 20 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 21 x_2 плюс 36 минус 2 x_2 минус 35 правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка 19 x_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 19 x_2 плюс 1 правая круглая скобка =361 x_1 x_2 плюс 19 левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка плюс 1.$ $левая круглая скобка x_1 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка минус 20 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 3 x_2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 2 x_2 минус 35 правая круглая скобка =$
$=19 x_1 плюс 21 минус 20 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 21 x_2 плюс 36 минус 2 x_2 минус 35 правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка 19 x_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 19 x_2 плюс 1 правая круглая скобка =361 x_1 x_2 плюс 19 левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка плюс 1.$

По теореме Виета $x_1 x_2= минус 3$ и $x_1 плюс x_2=1.$ Подставив, получим $361 умножить на левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка плюс 19 плюс 1= минус 1063.$

Ответ: −1063.

Аналоги к заданию № 6179: 6187 Все

Олимпиада Покори Воробьевы горы!, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра. Квадратный трёхчлен, т. Виета, Алгебра: уравнения и неравенства. Уравнения квадратные

Спрятать решение · Помощь