РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 617 Добавить в вариант

Прямоугольник разделили на непересекающиеся квадраты со стороной 1 см. Будем говорить, что квадрат расположен вдоль стороны прямоугольника, если хотя бы одна из сторон квадрата лежит на стороне прямоугольника. Половину квадратов, расположенных вдоль сторон прямоугольника, покрасили в зеленый цвет, а все остальные квадраты оставили незакрашенными. В итоге незакрашенных квадратов оказалось в 4 раза больше, чем зеленых. Найдите все возможные прямоугольники, указав длины их сторон.

Спрятать решение

Решение.

Пусть искомый прямоугольник имеет стороны равные n см и m см. Тогда вдоль сторон прямоугольника располагаются 2m + 2n − 4 квадрата. Таким образом, в зеленый цвет покрасили m + n − 2 квадрата, а незакрашенными остались mn − m − n квадрата. По условию задачи получаем

$mn минус m минус n плюс 2=4 левая круглая скобка m плюс n минус 2 правая круглая скобка равносильно mn=5m плюс 5n минус 10 равносильно m левая круглая скобка n минус 5 правая круглая скобка =5n минус 10 равносильно$ $mn минус m минус n плюс 2=4 левая круглая скобка m плюс n минус 2 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно mn=5m плюс 5n минус 10 равносильно m левая круглая скобка n минус 5 правая круглая скобка =5n минус 10 равносильно$

$равносильно m= дробь: числитель: 5n минус 10, знаменатель: n минус 5 конец дроби равносильно m= дробь: числитель: 5 левая круглая скобка n минус 5 правая круглая скобка плюс 15, знаменатель: n минус 5 конец дроби =5 плюс дробь: числитель: 15, знаменатель: n минус 5 конец дроби .$

Поскольку стороны прямоугольника являются натуральными числами, то 15 должно делиться на n − 5.

1)   $n минус 5 =1 \Rightarrow n=6,m=20;$

2)   $n минус 5 =3 \Rightarrow n=8,m=10;$

3)   $n минус 5 =5 \Rightarrow n=10,m=8;$

4)   $n минус 5 =15 \Rightarrow n=20,m=6.$

Ответ: стороны прямоугольника равны 6 см и 20 см или 8 см и 10 см.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Задача решена полностью.	+	12
Решение задачи содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые обоснования или в результате описки/арифметической ошибки получен неверный ответ.	±	8
Решение содержит значительное продвижение в верном направлении. Верно составлено уравнение, связывающие длины сторон прямоугольника.	+/2	6
Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении. Верно определена связь между сторонами прямоугольника.	∓	2
Задача не решена, содержательных продвижений нет.	−	0
Задача не решалась.	0	0

Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!, 8, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Олимпиадная геометрия. Раскраски

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь