РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6068 Добавить в вариант

Числа x, y и z, не равные нулю, таковы, что их квадраты в указанном порядке являются последовательными членами арифметической прогрессии, а числа 10x, 4y² и 5z³  — последовательными членами геометрической прогрессии. Найти все такие тройки x, y и z, известно, что отношение x :z рационально.

Спрятать решение

Решение.

Запишем условия того, что квадраты чисел x, y и z являются последовательными членами арифметической прогрессии, а числа 10x, 4y² и 5z³  — последовательными членами геометрической прогрессии:

$система выражений x в квадрате плюс z в квадрате =2 y в квадрате , 25 x z в кубе =8 y в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка . конец системы .$

Исключим переменную y² из второго уравнения системы:

$левая круглая скобка x в квадрате плюс z в квадрате правая круглая скобка в квадрате =4 y в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка \Rightarrow 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс z в квадрате правая круглая скобка в квадрате =25 x z в кубе \Rightarrow 2 x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 4 x в квадрате z в квадрате плюс 2 z в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =25 x z в кубе .$

Разделим правую и левую части уравнения на $z в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка не равно q 0:$

$2 дробь: числитель: x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка , знаменатель: z в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка конец дроби плюс 4 дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: z в квадрате конец дроби плюс 2=25 дробь: числитель: x, знаменатель: z конец дроби .$

Обозначим $t=x: z$ и перепишем последнее уравнение в виде $2 t в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 4 t в квадрате минус 25 t плюс 2=0.$ По условию t  — рациональное число. Уравнение $2 t в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 4 t в квадрате минус 25 t плюс 2=0$ может иметь рациональные корни только $t=\pm 0,5, \pm 1, \pm 2.$ Непосредственной подстановкой убеждаемся, что только $t=2$ удовлетворяет уравнению, поэтому уравнение имеет только один рациональный корень $t=2.$ Тогда получим

$система выражений x=2 z, 2 y в квадрате =5 z в квадрате . конец системы .$

Записываем ответ

$система выражений x=2 z, y=\pm z корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента , z принадлежит R , z не равно q 0. конец системы .$

Ответ: $левая фигурная скобка x=2z; y= \pm x корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента : z не равно q 0, z принадлежит R правая фигурная скобка .$

Олимпиада Росатом, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2016 год

Классификатор: Алгебра. Прогрессии, Методы алгебры. Замена переменной, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Помощь