РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6064 Добавить в вариант

Найти a, b и c, для которых система

$система выражений левая круглая скобка 2x минус 3y плюс 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус y минус 2 правая круглая скобка =0, левая круглая скобка 2x плюс y минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3y плюс 6 правая круглая скобка =0, левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус b правая круглая скобка в квадрате =c в квадрате конец системы .$

в области $x больше или равно минус 1$ имеет ровно три решения.

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим сначала систему из первых двух уравнений

заданной системы. Решением этой системы является объединение решений систем:

$А: система выражений 2 x минус 3 y плюс 6=0, 2 x плюс y минус 2=0 конец системы . \Rightarrow система выражений x_1=0,y_1=2; конец системы .$

$С: система выражений 2 x минус y минус 2=0, 2 x плюс y минус 2=0 конец системы . \Rightarrow система выражений x_3=1,y_3=0; конец системы .$

$Б: система выражений 2 x минус 3 y плюс 6=0, 2 x плюс 3 y плюс 6=0 конец системы . } \Rightarrow система выражений x_2= минус 3,y_2=0; конец системы .$

$Д: система выражений 2 x минус y минус 2=0, 2 x плюс 3 y плюс 6=0 конец системы . \Rightarrow система выражений x_4=0,y_4= минус 2. конец системы .$

Условию $x больше или равно минус 1$ удовлетворяют решения систем А, С и Д: $x_1=0$ и $y_1=2 ;$ $x_3=1$ и $y_3=0 ;$ $x_4=0$ и $y_4= минус 2.$ Для того, чтобы исходная система имела ровно три решения, необходимо и достаточно, чтобы эти три решения удовлетворяли третьему уравнению системы  — $левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус b правая круглая скобка в квадрате =c в квадрате .$ В результате получаем систему уравнений для нахождения a, b и c:

$левая фигурная скобка \begin{align a в квадрате плюс левая круглая скобка b минус 2 правая круглая скобка в квадрате =c в квадрате , левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс b в квадрате =c в квадрате , a в квадрате плюс левая круглая скобка b плюс 2 правая круглая скобка в квадрате =c в квадрате . \endarray.$

Вычитая из третьего уравнения первое, найдем b:

$левая круглая скобка b плюс 2 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка b минус 2 правая круглая скобка в квадрате =0 \Rightarrow 4 b=0 \Rightarrow b=0.$

Тогда из второго уравнения получим $a=1 \pm c.$ Подставим $a=1 \pm c$ в первое уравнение:

$1 \pm 2 c плюс c в квадрате плюс 4=c в квадрате \Rightarrow c=\mp 2,5.$

Если $c= минус 2,5,$ то $a= минус 1,5,$ a если $c=2,5,$ то снова $a= минус 1,5.$ Таким образом, получаем: $a= минус 1,5,$ $b=0$ и $c=\pm 2,5.$

Ответ: $a= минус 1,5,$ $b=0$ и $c=\pm 2,5.$

Олимпиада Росатом, 10 класс, 1 тур (отборочный), 2016 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Системы уравнений, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Помощь