РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5918 Добавить в вариант

Сфера, вписанная в тетраэдр ABCD, касается граней BCD, CAD и ABD в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Известно, что $\angle BA_1D=115 градусов$ и $\angle CB_1D=120 градусов .$ Найдите угол AC₁D. Ответ дайте в градусах.

Спрятать решение

Решение.

Пусть D₁  — точка касания сферы и грани ABC и $\angle A C_1 D=\varphi.$ Заметим, что треугольники BA₁D и BC₁D равны по трем сторонам $левая круглая скобка B A_1=B C_1$   — касательные к сфере из точки B, $D A_1=D C_1$   — касательные к сфере из точки D, BD  — общая сторона). Следовательно, $\angle B A_1 D=\angle B C_1 D=115 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ (см. рис.).

Аналогично равны углы, под которыми видно любое ребро тетраэдра из точек касания прилегающих к нему граней. В частности, $\angle C B_1 D=\angle C A_1 D=120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ и $\angle A C_1 D=\angle A B_1 D=\varphi.$ Кроме того, верны соотношения

$\angle B A_1 D плюс \angle D A_1 C плюс \angle C A_1 B=360 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$

$\angle B C_1 D плюс \angle D C_1 A плюс \angle A C_1 B=360 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$

$\angle C B_1 D плюс \angle D B_1 A плюс \angle A B_1 C=360 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$

из которых заключаем, что

$\angle C D_1 B=\angle C A_1 B=360 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 115 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =125 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$

$\angle B D_1 A=\angle B C_1 A=360 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 115 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \varphi=245 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \varphi,$

$\angle A D_1 B=\angle A C_1 B=360 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \varphi=240 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \varphi.$

Осталось сложить три полученных равенства и получить уравнение на $\varphi:$

$360 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =125 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 245 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \varphi плюс 240 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \varphi,$

из которого следует ответ.

Ответ: 125.

Аналоги к заданию № 5904: 5918 5919 5920 ...5918 5919 5920 5923 Все

Олимпиада Курчатов, 11, 10 класс, 1 тур (отборочный), 2019 год

Классификатор: Геометрия: стереометрия. Сфера вписанная

Спрятать решение · Прототип задания · Помощь