РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5850 Добавить в вариант

Решите систему уравнений в действительных числах

$система выражений левая фигурная скобка a правая фигурная скобка плюс левая фигурная скобка b правая фигурная скобка плюс левая фигурная скобка c правая фигурная скобка =2,0, левая фигурная скобка b правая фигурная скобка плюс левая фигурная скобка c правая фигурная скобка плюс левая фигурная скобка a правая фигурная скобка =0,1, левая фигурная скобка c правая фигурная скобка плюс левая фигурная скобка a правая фигурная скобка плюс левая фигурная скобка b правая фигурная скобка =1,7, конец системы .$

где [x]  — целая часть числа x, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее x, а {x}  =  x − [x]  — дробная часть числа x.

Спрятать решение

Решение.

Применим дробную часть к обеим частям каждого уравнения, используя тождество $левая фигурная скобка левая фигурная скобка x правая фигурная скобка \pm левая фигурная скобка y правая фигурная скобка правая фигурная скобка = левая фигурная скобка x \pm y правая фигурная скобка .$ Получаем, что $левая фигурная скобка a плюс c правая фигурная скобка =0,0,$ $левая фигурная скобка b плюс a правая фигурная скобка =0,1$ и $левая фигурная скобка c плюс b правая фигурная скобка =0,7.$ Сложим первое со вторым и вычтем третье, получим, что $левая фигурная скобка 2 a правая фигурная скобка = левая фигурная скобка 0,1 минус 0,7 правая фигурная скобка =0.4.$ Отсюда либо $левая фигурная скобка a правая фигурная скобка =0,2,$ либо $левая фигурная скобка a правая фигурная скобка =0,7.$ В первом случае получаем, что $левая фигурная скобка b правая фигурная скобка =0,9$ и $левая фигурная скобка c правая фигурная скобка =0,8 ;$ когда дробные части чисел известны, целые части однозначно извлекаются из уравнений: получаем $a=0,2,$ $b=1,9,$ $c= минус 0,2.$ Во втором случае получаем $левая фигурная скобка b правая фигурная скобка =0,4$ и $левая фигурная скобка c правая фигурная скобка =0,3;$ тогда $a=1,7,$ $b=1,4,$ $c= минус 0,7.$ Осталось заметить, что обе полученные тройки подходят в исходную систему.