У куба выбрали две противоположные вершины M и M' и плоскими сечениями ABC и A'B'C' отрезали от него две треугольные пирамиды MABC и M'A'B'C'. Получился восьмигранник (см. рис.) Три расстояния оказались попарно различны: между прямыми AB и A'B', между прямыми BC и B'C' и между прямыми AC и A'C'. Докажите, что у прямых AA', BB' и CC' есть общая точка.
Пусть r — длина ребра куба. Каждая из пар прямых лежит на двух противоположных гранях куба. Через них проходят параллельные плоскости на расстоянии r друг от друга. Если эти прямые не параллельны, то они скрещиваются; в таком случае проходящая через них пара параллельных плоскостей определяется однозначно, и расстояние между прямыми равно расстоянию между плоскостями, то есть r. По условию, по крайней мере два расстояния не равны r, то есть в двух парах прямые параллельны (скажем 
Тогда по признаку параллельности плоскостей параллельны плоскости ABC и A'B'C'. Но тогда параллельны между собой и прямые ВC и B'C'. Иначе получилось бы, что через пару скрещивающихся прямых ВС и В B'C' проходят две пары параллельных плоскостей: пара противоположных граней и пара ABC и A'BC'. А такое невозможно. Итак, все три пары состоят из параллельных прямых. Значит, прямые АВ и А'В' лежат в одной плоскости и имеют общую точку X, прямые ВС и B'C' лежат в одной плоскости и имеют общую точку Y и, наконец, прямые АС и А'C' лежат в одной плоскости и имеют общую точку Z. Но, если среди этих точек есть различные, то все три точки различны, и все три прямые лежат в одной плоскости XYZ, что неверно. Значит, все эти прямые проходят через одну точку.