РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5805 Добавить в вариант

Известна сумма четвертой и пятой степени некоторого нецелого числа. Всегда ли можно определить знак исходного числа?

Решение.

Исследование графика $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс x в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка$ показывает, что она непрерывна, возрастает при $x меньше минус 0,8$ и $x больше 0,$ убывает при $минус 0,8 меньше x меньше 0.$ Соответственно, $f левая круглая скобка минус 0,8 правая круглая скобка =0,08192$   — локальный максимум, $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0$   — локальный минимум. При $0 меньше или равно x меньше или равно 1$ функция принимает все значения от 0 до 2, в том числе и значение 0,08192. Оно, очевидно, принимается при нецелом х. Итак, значение 0,08192 принимается как при нецелом отрицательном числе −0,8, так и при некотором нецелом полодительном числе. Значит, по значению знак определить нельзя!

Ответ: нет.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Пять баллов, если объяснено, что при некотором а уравнение $x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс x в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка =a$ имеет как положительный, так и отрицательный корень, но не доказано, что оба корня не целые.

Олимпиада Курчатов, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра. Действия с числами

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь