РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5713 Добавить в вариант

Известно, что уравнение $x в кубе плюс y в кубе =z в кубе$ не имеет решений в натуральных числах. Найдите все решения в натуральных числах уравнения $6x в квадрате плюс 2=z в кубе .$

Спрятать решение

Решение.

Запишем уравнение в виде $левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в кубе минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в кубе =z в кубе ,$ откуда $левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в кубе = левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в кубе плюс z в кубе .$ В натуральных числах $x минус 1,$ $x плюс 1$ и z это уравнение решений не имеет (по условию задачи). Так как и z, и x (а значит и $x плюс 1 правая круглая скобка$ должны быть натуральными, единственный возможный случай  — это случай $x минус 1=0,$ то есть $x=1.$ Но тогда $z=2.$

Ответ: $x=1,$ $z=2.$

Многопрофильная олимпиада УрФУ для школьников Изумруд, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Методы алгебры. Косвенные методы в уравнения и неравенствах, Методы алгебры. Сведение к однородному уравнению / неравенству

Спрятать решение · Помощь