РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5664 Добавить в вариант

Известно, что в разностороннем треугольнике ABC длины медиан пропорциональны длинам сторон, к которым они проведены. Найти коэффициент пропорциональности.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим длины сторон треугольника ABC буквами a, b, c $левая круглая скобка a меньше b меньше c правая круглая скобка ,$ а длины медиан, проведенных к этим сторонам, m_a, m_b, m_c соответственно. Тогда по условию задачи

$дробь: числитель: m_a, знаменатель: a конец дроби = дробь: числитель: m_b, знаменатель: b конец дроби = дробь: числитель: m_c, знаменатель: c конец дроби =k ,$

следует, что

$\beginaligned m_a=k a, m_b=k b, m_c=k c, \endaligned \qquad левая круглая скобка 1 правая круглая скобка .$

Воспользуемся формулами

$4 m_a в квадрате =2 b в квадрате плюс 2 c в квадрате минус a в квадрате ,$ $4 m_b в квадрате =2 a в квадрате плюс 2 c в квадрате минус b в квадрате ,$ $4 m_c в квадрате =2 a в квадрате плюс 2 b в квадрате минус c в квадрате .$

Сложим полученные равенства и воспользуемся (1):

$4 k в квадрате левая круглая скобка a в квадрате плюс b в квадрате плюс c в квадрате правая круглая скобка =3 левая круглая скобка a в квадрате плюс b в квадрате плюс c в квадрате правая круглая скобка \Rightarrow k= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Решение останется таким же, если треугольник будет равносторонним. Это решение тоже принималось за верное.

Ответ: $k= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2021 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Треугольник равносторонний, Методы геометрии. Свойства медиан, высот, биссектрис, ср. линий

Спрятать решение · Помощь