РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5638 Добавить в вариант

Решите уравнение:

$2 умножить на косинус левая круглая скобка 2 умножить на 2021 в степени x правая круглая скобка минус 3 умножить на косинус левая круглая скобка 2021 в степени x правая круглая скобка плюс 1=0.$

Спрятать решение

Решение.

Пусть $t=2021 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка$ при $t больше 0.$ Тогда

$2 умножить на косинус левая круглая скобка 2 t правая круглая скобка минус 3 умножить на косинус левая круглая скобка t правая круглая скобка плюс 1=0 равносильно 4 косинус в квадрате t минус 3 умножить на косинус левая круглая скобка t правая круглая скобка минус 1=0.$

1)  Если $косинус t=1,$ то $t=2 Пи n,$ $n принадлежит Z ,$ $n больше или равно 1,$ чтобы $t больше 0:$ $x= логарифм по основанию левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 Пи n правая круглая скобка ,$ $n принадлежит N .$

2)  Если $косинус t= минус 0,25,$ то $t= арккосинус левая круглая скобка минус 0,25 правая круглая скобка$ или $t=\pm арккосинус левая круглая скобка минус 0,25 правая круглая скобка плюс 2 Пи n,$ при $n принадлежит Z ,$ $n больше или равно 1,$ чтобы $t больше 0:$

$x= логарифм по основанию левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка левая круглая скобка арккосинус левая круглая скобка минус 0,25 правая круглая скобка правая круглая скобка ,$ $t= логарифм по основанию левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка левая круглая скобка \pm арккосинус левая круглая скобка минус 0,25 правая круглая скобка плюс 2 Пи n правая круглая скобка$

при $n принадлежит N .$

Ответ: $левая фигурная скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка левая круглая скобка арккосинус левая круглая скобка минус 0,25 правая круглая скобка правая круглая скобка ; логарифм по основанию левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 Пи n правая круглая скобка ; логарифм по основанию левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка левая круглая скобка \pm арккосинус левая круглая скобка минус 0,25 правая круглая скобка плюс 2 Пи n правая круглая скобка : n принадлежит N правая фигурная скобка .$

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2021 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Тригонометрия + показательные выражения, Методы алгебры. Замена переменной

Спрятать решение · Помощь