РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5636 Добавить в вариант

Решить систему уравнений

$система выражений 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка 3x правая круглая скобка =4 в степени y плюс 3 в степени левая круглая скобка 3y правая круглая скобка минус 3,2 в степени левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка 3y правая круглая скобка =4 в степени x плюс 3 в степени левая круглая скобка 3x правая круглая скобка минус 3. конец системы .$

Спрятать решение

Решение.

Обозначим через g(x) левую часть первого уравнения системы, а через h(x)  — правую часть второго уравнения системы. Сложив левую часть первого уравнения с правой частью второго уравнения и правую часть первого уравнения с левой частью второго уравнения, получим

$g левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс h левая круглая скобка x правая круглая скобка =g левая круглая скобка y правая круглая скобка плюс h левая круглая скобка y правая круглая скобка .$

Функция $g левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс h левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — строго возрастающая, поэтому $x=y$ и решение заданной системы сводится к решению уравнения $4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 3=0$ и после обозначения $2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка =t$ получаем $t_1= минус 2$ или $t_2=3$ следовательно, $x=y= логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 3.$

Ответ: $x=y= логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 3.$

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2021 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Системы комбинированные, Методы алгебры. Косвенные методы в уравнения и неравенствах

Спрятать решение · Помощь