РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5584 Добавить в вариант

Докажите, что $косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 7 конец дроби минус косинус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 7 конец дроби плюс косинус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 7 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Спрятать решение

Решение.

Умножим и разделим выражение в левой части доказываемого тождества на $2 косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби ,$ что не равно 0. Применим после этого в числителе формулу

$2 косинус x косинус y= косинус левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка плюс косинус левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка .$

Получим

$косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 7 конец дроби минус косинус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 7 конец дроби плюс косинус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 7 конец дроби = дробь: числитель: 2 косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 7 конец дроби минус косинус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 7 конец дроби плюс косинус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: 2 косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби конец дроби =$
$= дробь: числитель: косинус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 14 конец дроби плюс косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби минус косинус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 14 конец дроби минус косинус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 14 конец дроби плюс косинус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 14 конец дроби плюс косинус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 14 конец дроби , знаменатель: 2 косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби , знаменатель: 2 косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ $косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 7 конец дроби минус косинус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 7 конец дроби плюс косинус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 7 конец дроби = дробь: числитель: 2 косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 7 конец дроби минус косинус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 7 конец дроби плюс косинус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: 2 косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби конец дроби =$
$= дробь: числитель: косинус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 14 конец дроби плюс косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби минус косинус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 14 конец дроби минус косинус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 14 конец дроби плюс косинус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 14 конец дроби плюс косинус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 14 конец дроби , знаменатель: 2 косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби конец дроби =$
$= дробь: числитель: косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби , знаменатель: 2 косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ $косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 7 конец дроби минус косинус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 7 конец дроби плюс косинус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 7 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 2 косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 7 конец дроби минус косинус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 7 конец дроби плюс косинус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: 2 косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби конец дроби =$
$= дробь: числитель: косинус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 14 конец дроби плюс косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби минус косинус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 14 конец дроби минус косинус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 14 конец дроби плюс косинус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 14 конец дроби плюс косинус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 14 конец дроби , знаменатель: 2 косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби конец дроби =$
$= дробь: числитель: косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби , знаменатель: 2 косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Что и требовалось доказать.

Многопрофильная олимпиада УрФУ для школьников Изумруд, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Преобразования числовых выражений, Методы тригонометрии. Формулы произведения

Спрятать решение · Помощь