РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5479 Добавить в вариант

На сторонах АВ, ВС, АС равностороннего треугольника АВС отмечены точки P и Q, R, S соответственно, такие, что AP  =  CS, BQ  =  CR. Доказать, что угол между отрезками PR и QS равен 60 градусов.

Спрятать решение

Решение.

Ввиду того, что $AP = CS,$ $BQ = CR,$ имеем $BP = AB минус AP = AC минус CS = AS$ и $BR = BC минус CR = AB минус BQ = AQ.$ Следовательно, треугольники AQS и BRP равны по парам paвных сторон $BP = AS,$ $BR = AQ$ и углам между ними. Обозначим точку пересечения отрезков PR и QS за K. Тогда $\angleKPA = 180 градусов минус \angleBPR = 180 градусов минус \angleKSA,$ в таком случае $\angleKPA плюс \angleKSA = 180 градусов.$ Следовательно, сумма углов РАS и РKS тоже равна 180°, то есть угол PKS равен 120°. Отсюда угол RKS между отрезками PR и QS равен $180 градусов минус 120 градусов =60 градусов,$ что и требовалось доказать.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Доказано, что треугольники AQS и BRP равны: 3 балла.

Всесибирская олимпиада школьников, 10 класс, 3 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Треугольник равносторонний, Геометрия: планиметрия. Треугольник: сумма углов

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь