сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Какой циф­рой может за­кан­чи­вать­ся число f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = левая квад­рат­ная скоб­ка 2x пра­вая квад­рат­ная скоб­ка плюс левая квад­рат­ная скоб­ка 3x пра­вая квад­рат­ная скоб­ка плюс левая квад­рат­ная скоб­ка 5x пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , где x  — про­из­воль­ное по­ло­жи­тель­ное дей­стви­тель­ное число? Здесь [x] обо­зна­ча­ет целую часть числа x, то есть наи­боль­шее целое число, не пре­вос­хо­дя­щее x.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим x= левая квад­рат­ная скоб­ка x пра­вая квад­рат­ная скоб­ка плюс a, где 0 мень­ше или равно a мень­ше 1  — дроб­ная часть x. Тогда легко по­нять, что

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = левая квад­рат­ная скоб­ка 2 x пра­вая квад­рат­ная скоб­ка плюс левая квад­рат­ная скоб­ка 3 x пра­вая квад­рат­ная скоб­ка плюс левая квад­рат­ная скоб­ка 5 x пра­вая квад­рат­ная скоб­ка =10 левая квад­рат­ная скоб­ка x пра­вая квад­рат­ная скоб­ка плюс левая квад­рат­ная скоб­ка 2 a пра­вая квад­рат­ная скоб­ка плюс левая квад­рат­ная скоб­ка 3 a пра­вая квад­рат­ная скоб­ка плюс левая квад­рат­ная скоб­ка 5 a пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ,

по­это­му от целой части x по­след­няя цифра не за­ви­сит. Рас­смот­рим воз­мож­ные зна­че­ния его дроб­ной части, разобьём от­ре­зок от 0 до 1 сна­ча­ла на два рав­ных по­лу­от­кры­тых ин­тер­ва­ла: от 0 до  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и от  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби до 1, на пер­вом из них [2a] равно 0. на вто­ром 1. Ана­ло­гич­но, зна­че­ния [3a] на по­лу­от­кры­тых ин­тер­ва­лах от 0 до  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , от  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби до  дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , от  дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби до 1 равны 0, 1 и 2 со­от­вет­ствен­но, а зна­че­ния [5a] на по­лу­от­кры­тых ин­тер­ва­лах от 0 до  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , от  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби до  дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , ... от  дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби до 1 равны 0, 1, ..., 4 со­от­вет­ствен­но. От­сю­да легко по­лу­чить, что зна­че­ния суммы  левая квад­рат­ная скоб­ка 2 a пра­вая квад­рат­ная скоб­ка плюс левая квад­рат­ная скоб­ка 3 a пра­вая квад­рат­ная скоб­ка плюс левая квад­рат­ная скоб­ка 5 a пра­вая квад­рат­ная скоб­ка на вось­ми по­лу­от­кры­тых ин­тер­ва­лах

 левая квад­рат­ная скоб­ка 0, дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , 1 пра­вая круг­лая скоб­ка

равны со­от­вет­ствен­но 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

 

Ответ: любой циф­рой от 0 до 7 вклю­чи­тель­но.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

До­ка­за­но, что по­след­няя цифра x за­ви­сит толь­ко от дроб­ной части x: 2 балла. До­ка­за­но, чем окан­чи­ва­ют­ся числа [2a], [3a] и [5a] в за­ви­си­мо­сти от ин­тер­ва­ла:4 балла. Толь­ко при­ве­де­ны при­ме­ры, когда по­след­ние цифры равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7: 1 балл.