РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5182 Добавить в вариант

Решите в целых числах уравнение $4x в квадрате плюс 3y в квадрате плюс 5z в квадрате минус 24y=1.$

Спрятать решение

Решение.

Перепишем уравнение в виде

$4 x в квадрате плюс 3 левая круглая скобка y минус 4 правая круглая скобка в квадрате плюс 5 z в квадрате =49.$

Откуда:

1)  если $4 x в квадрате меньше или равно 4,$ то $|x| меньше или равно 3,$ так как x  — целое;

2)  если $3 левая круглая скобка y минус 4 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 49,$ то $минус 4| меньше или равно 4,$ так как y  — целое;

3)  если $5 x в квадрате меньше или равно 49,$ то $|z| меньше или равно 3,$ так как z  — целое.

B силу симметрии, сначала можно искать лишь тройки (x; y; z), для которых $x больше или равно 0 ;$ $y минус 4 больше или равно 0 ;$ $z больше или равно 0.$ Такая будет только одна (1; 4; 3) (перебор), а затем в силу симметрии записываем остальные (−1; 4; 3), (−1; 4; −3), (1; 4; −3).

Ответ: (1; 4; 3), (−1; 4; 3), (−1; 4; −3), (1; 4; −3).

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2021 год

Классификатор: Алгебра: числа. В целых числах Диофантовы уравнения, Методы алгебры. Симметризация выражений

Спрятать решение · Помощь