РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 4649 Добавить в вариант

Найти два различных корня x₁, x₂ уравнения $x в квадрате минус 20bx плюс c=0,$ если числа b, x₁, x₂, c образуют геометрическую прогрессию.

Спрятать решение

Решение.

По теореме Виета:

$система выражений x_1 умножить на x_2=c, x_1 плюс x_2=20 b; конец системы .$

Пусть q  — знаменатель геометрической прогрессии, тогда $x_1=b q,$ $x_2=b q в квадрате ,$ $c=b q в кубе .$ Система примет вид

$система выражений b q умножить на b q в квадрате =b q в кубе , b q плюс b q в квадрате =20 b конец системы . равносильно система выражений b в квадрате минус b=0, q плюс q в квадрате =20 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений b_1=0, b_2=1, конец системы . q плюс q в квадрате минус 20=0 . конец совокупности .$

Так как b первый член геометрической прогрессии, то $b_1=0$ не подходит по смыслу. Если $b=1,$ то $q в квадрате плюс q минус 6=0,$ $q_1= минус 5,$ $q_2=4.$ Если $q= минус 5,$ то $x_1= минус 5,$ $x_2=25.$ Если $q=4,$ то $x_1=4,$ $x_2=16.$

Ответ: $x_1= минус 5,$ $x_2=25$ или $x_1=4,$ $x_2=16.$

Олимпиада Газпром, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Параметр и квадратных трехчлен

Спрятать решение · Помощь