РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 448 Добавить в вариант

Уравнение $x в квадрате плюс ax плюс b плюс 1=0$ имеет два различных ненулевых целочисленных корня. Докажите, что число a² + b² не является простым, если числа a и b целые?

Спрятать решение

Решение.

Пусть x, y  — целочисленные корни данного уравнения. По теореме Виета x + y = −a и xy = b + 1, следовательно,

$a в квадрате плюс b в квадрате = левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка xy минус 1 правая круглая скобка в квадрате =x в квадрате плюс 2xy плюс y в квадрате плюс x в квадрате y в квадрате минус 2xy плюс 1=$

$=x в квадрате плюс y в квадрате плюс x в квадрате y в квадрате плюс 1= левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка y в квадрате плюс 1 правая круглая скобка .$

Поскольку x, y  — положительные целые числа, то число a² + b² разложили на два целых множителя, каждый из которых больше 1. Таким образом, число составное.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Полное решение.	+	12
Найдена основная идея решения. Отсутствует необходимая строгость в доказательстве.	±	9
Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное продвижение в верном направлении.	∓	2
Решение не соответствует ни одному критерию, описанному выше.	−/0	0
Максимальный балл		12

Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!, 8, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Алгебра. Квадратный трёхчлен, т. Виета

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь