Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Точка O — центр описанной окружности остроугольного треугольника 
Прямая, перпендикулярная стороне AC, пересекает отрезок BC и прямую AB в точках Q и P соответственно. Докажите, что точки B, O и середины отрезков AP и CQ лежат на одной окружности.
Решение.
Спрятать критерииПусть M, N, R, S — середины отрезков AB, BC, AP и CQ соответственно. Заметим, что
и
Аналогично 
Следовательно, треугольники OMN и BPQ подобны. Получаем, 
Аналогично 
Таким образом, 
и треугольники OMR и ONS подобны. Из последнего подобия получаем 
значит, 
и четырехугольник
?
Московская олимпиада школьников, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год