РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 4184 Добавить в вариант

Даны коэффициенты a, b, c квадратного трёхчлена $a x в квадрате плюс b x плюс c.$ Его график пересекает оси координат в трёх точках, и через эти точки провели окружность, которая пересекла ось Oy ещё в одной точке. Найдите ординату этой четвертой точки.

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим сначала случай, когда парабола пересекает ось Ox в точках x₁, x₂ по одну сторону от точки O  — начала координат. Если $a больше 0,$ то $c больше 0$ и применяя для окружности теорему об отрезках секущей, получим, что искомая ордината y₀ удовлетворяет уравнению $y_0 умножить на c=x_1 x_2.$ Но по теореме Виета $x_1 x_2= дробь: числитель: c, знаменатель: a конец дроби ,$ откуда получаем $y_0= дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби .$ Если а $меньше 0,$ то учитывая отрицательные знаки c и y₀, свойство секущих запишем в виде $левая круглая скобка минус y_0 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка минус c правая круглая скобка =x_1 x_2$ и снова получим тот же результат $y_0= дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби .$ Если корни разных знаков, то вместо теоремы об отрезках секущей следует применить теорему об отрезках хорд, и тогда аналогично получим ту же формулу для y₀.

Ответ: $дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Символы-Баллы	Правильность (ошибочность) решения
+20	Полное верное решение
+.16	Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение
±12	Решение в целом верное, но содержит ошибки, либо пропущены случаи, не влияющие на логику рассуждений
+/2 10	Верно рассмотрен один (более сложный) из существенных случаев, верно получена основная оценка
∓8	Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи
−.4	Рассмотрены только отдельные важные случаи или имеются начальные продвижения
−0	Решение неверное, продвижения отсутствуют
0	Решение отсутствует (участник не приступал)

Если в задаче два пункта, то только за один решенный пункт максимальная оценка 10 баллов, а другие (промежуточные) оценки соответствуют половинкам баллов приведенной таблицы. Рекомендуется сначала оценивать задачу в символах («плюс-минусах»); при необходимости оценку в символах можно дополнить значком–стрелкой вверх или вниз, что скорректирует соответствующую оценку на один балл. Например, символ ±↑ будет соответствовать 13 баллам.

Олимпиада Будущие исследователи  — будущее науки, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Алгебра. Квадратный трёхчлен, т. Виета, Анализ. Графики функций, уравнений, неравенств, Методы геометрии. Свойства хорд, касательных, секущих

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь