РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 11 № 4056 Добавить в вариант

При каких n > 1 существуют такие различные натуральные числа $a_1, a_2, …, a_n,$ что

$НОК левая круглая скобка a_1, a_2, … , a_n правая круглая скобка = a_1 плюс a_2 плюс … плюс a_n.$

Спрятать решение

Решение.

Пусть существуют такие различные натуральные числа $а$ и b, что $НОК левая круглая скобка a, b правая круглая скобка =a плюс b .$ Так как

$НОК левая круглая скобка a, b правая круглая скобка \vdots a$

$НОК левая круглая скобка a, b правая круглая скобка \vdots b ,$

то $a плюс b \vdots a$ и $a плюс b \vdots b .$ Следовательно, $a \vdots b$ и $b\vdots a,$ но такого быть не может в виду того, что $a не равно q b.$ Предположим теперь, что $n больше 2$ и рассмотрим числа

$a_1=1,$ $\quad a_2=2,$ $\quad a_3=2 умножить на 3,$ $\quad \ldots,$ $\quad a_i=2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка i минус 2 правая круглая скобка ,$ $\quad \ldots,$ $\quad a_n минус 1=2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка n минус 3 правая круглая скобка ,$ $\quad a_n=3 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка .$

Все эти числа различны и их наименьшее общее кратное равно $2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка .$ Найдем теперь их сумму

$1 плюс 2 плюс 2 умножить на 3 плюс \ldots плюс 2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка n минус 3 правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка =1 плюс 2 умножить на левая круглая скобка 1 плюс 3 плюс \ldots плюс 3 в степени левая круглая скобка n минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка =$
$= 1 плюс 2 умножить на дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка минус 1, знаменатель: 3 минус 1 конец дроби плюс 3 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка =2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка .$ $1 плюс 2 плюс 2 умножить на 3 плюс \ldots плюс 2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка n минус 3 правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка =$
$=1 плюс 2 умножить на левая круглая скобка 1 плюс 3 плюс \ldots плюс 3 в степени левая круглая скобка n минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка =$
$= 1 плюс 2 умножить на дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка минус 1, знаменатель: 3 минус 1 конец дроби плюс 3 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка =2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка .$

Ответ: при всех натуральных $n больше 2.$

Ответ: при всех натуральных

n>2.

Олимпиада Университета Иннополис Innopolis Open, 10 класс, 1 тур (отборочный) 2 этап, 2017 год

Классификатор: Алгебра: числа. НОД и НОК

Спрятать решение · Помощь