РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 11 № 4024 Добавить в вариант

На рисунке изображена развертка многогранника, все грани которого равные треугольники. Равные ребра отмечены одинаковым цветом. Найдите объем этого многогранника, если стороны каждой грани имеют длины a, b, c.

Спрятать решение

Решение.

Многогранник является октаэдром. Достроим его до тетраэдра, а тетраэдр до параллелепипеда как показано на рисунке.

Противоположные ребра тетраэдра равны между собой и равны удвоенным сторонам грани октаэдра. Тогда у параллелепипеда грани являются прямоугольниками, то есть ABCDA₁B₁C₁D₁  — прямоугольный параллелепипед. Причем

$V_A B C D A_1 B_1 C_1 D_1=3 V_A C B_1 D_1=6 V_0,$

где V₀  — объем октаэдра. Пусть $A B=x,$ $A D=y$ и $A A_1=z.$ Из теоремы Пифагора полу чаем следующую систему:

$система выражений x в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс y в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = 4 a в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка , y в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс z в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = 4 b в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка , x в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс z в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = 4 c в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка конец системы . равносильно система выражений x в квадрате =2 a в квадрате плюс 2 c в квадрате минус 2 b в квадрате , y в квадрате =2 b в квадрате плюс 2 a в квадрате минус 2 c в квадрате , z в квадрате =2 c в квадрате плюс 2 b в квадрате минус 2 a в квадрате . конец системы .$

Откуда

$V_0= дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби x y z= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби корень из: начало аргумента: 2 левая круглая скобка a в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс b в квадрате минус c в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате плюс c в квадрате минус b в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка b в квадрате плюс c в квадрате минус a в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка .$

Ответ: $дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби корень из: начало аргумента: 2 левая круглая скобка a в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс b в квадрате минус c в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате плюс c в квадрате минус b в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка b в квадрате плюс c в квадрате минус a в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка .$

Ответ:

\frac{1}{3} \sqrt{2\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)\left(b^{2}+c^{

Олимпиада Университета Иннополис Innopolis Open, 11 класс, 1 тур (отборочный) 1 этап, 2017 год

Классификатор: Геометрия: стереометрия. Развёртки, Методы геометрии. Достраивание тетраэдра

Спрятать решение · Помощь