Справедливы ли следующие утверждения:
а) Если для любой точки M внутри треугольника ABC из отрезков MA, MB и MC можно составить треугольник, то ABC равносторонний?
б) Для любой точки M внутри равностороннего треугольника ABC из отрезков MA, MB и MC можно составить треугольник?
Решение. а) Предположим, от противного, что треугольник ABC не равносторонний, и пусть, для определенности, AC — наибольшая сторона. Хотя бы одна из прилежащих сторон (AB или BC) меньше, чем AC. Пусть, для определенности, 
Если M совпадает с точкой A, то
Тогда понятно, что для точек M, очень близких к A, внутри треугольника ABC также будет нарушено неравенство треугольника. Строгое доказательство этого факта такое.
Пусть d — положительное число, меньшее 
Возьмем точку D внутри треугольника ABC, чтобы она лежала внутри круга радиуса dc центром в точке A. Тогда 
и 
Поэтому
Полученное противоречие с неравенством треугольника доказывает наше утверждение.
б) Пусть ABC — равносторонний треугольник. Рассмотрим треугольник ABM и повернем его на 60° вокруг точки B так, чтобы сторона AB совпала с AC. Точка M займет при этом положение 
Тогда треугольник 
равносторонний (так как 
и 
Стороны треугольника 
равны отрезкам MA, MB и MC. Действительно, 
а 
(при повороте отрезок MA занимает положение 
что и требовалось доказать. Другой способ решения основан на двух неравенствах: 
и 
где a — сторона треугольника.
Ответ: а) справедливо; б) справедливо.