РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3904 Добавить в вариант

К графику функции $y левая круглая скобка x правая круглая скобка =3x минус x в квадрате$ проводятся две касательные. Первая касательная проводятся в точке с абсциссой $x_0=2,$ вторая  — в точке максимума данной функции. Найти площадь треугольника, образованного осью ординат и двумя этими касательными.

Спрятать решение

Решение.

Графиком функции

$y левая круглая скобка x правая круглая скобка =3 x минус x в квадрате = минус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби$

является парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка .$

Так как точкой максимума параболы является ее вершина, то абсциссой точки максимума функции $y левая круглая скобка x правая круглая скобка =3 x минус x в квадрате$ является $x_1= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$ Уравнение касательной в точке с абсциссой x₀ имеет вид

$y минус y левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка =y в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус x_0 правая круглая скобка .$

Тогда

$y в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = левая круглая скобка 3 x минус x в квадрате правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка =3 минус 2 x .$

Так как

$y в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =3 минус 2 умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби =0$

$y левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =3 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате =2,25,$

то уравнение касательной в точке $x_1= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби$ имеет вид $y=2,25.$ Так как $y в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =3 минус 2 умножить на 2= минус 1$ и $y левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =3 умножить на 2 минус 2 в квадрате =2,$ то уравнение касательной в точке $x_0=2$ имеет вид $y минус 2= минус левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка ,$ или $y= минус x плюс 4.$

Из системы уравнений

$левая фигурная скобка \beginaligny=2,25, y= минус x плюс 4\endarray.$

находим координаты точки пересечения касательных к параболе: $B левая круглая скобка 1,75; 2,25 правая круглая скобка .$ Касательная $y=2,25$ пересекает ось Oy в точке $C левая круглая скобка 0; 2,25 правая круглая скобка ,$ касательная $y= минус x плюс 4$ пересекает ось Oy в точке $A левая круглая скобка 0; 4 правая круглая скобка .$ Искомая площадь есть площадь треугольника ABC, поэтому $S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на |B C| умножить на |A C| .$ Так как $|A C|=|2,25 минус 4|=1,75,$ и $|B C|=|1,75 минус 0|=1,75,$ то $S= дробь: числитель: 49, знаменатель: 32 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 49, знаменатель: 32 конец дроби .$

Олимпиада Газпром, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Анализ. Графики функций, уравнений, неравенств, Анализ. Касательная

Спрятать решение · Помощь