При каких значениях параметра a уравнение
имеет ровно два различных решения?
Спрятать решениеРешение. Обозначим тогда исходное уравнение примет вид:
Проанализируем уравнение (1): при оно не имеет решений; при — одно решение каждому соответствует два различных значения x. Таким образом, исходное уравнение может иметь от нуля до четырёх решений. Оно имеет два различных корня в следующих трёх случаях для уравнения (2):
1) линейный случай, если единственный корень больше (−1);
2) когда и
3) уравнение (2) имеет два различных корня, один из которых больше (−1), а другой меньше (−1). Случай, когда один корень больше (−1), а другой равен (−1) нам не подходит, так как при этом будет три решения.
Исследуем перечисленные выше случаи:
1) при получаем то есть следовательно, данное значение параметра включается в ответ;
2) при
получаем Единственный корень — значит,
тогда включаем в ответ;
3) общий случай — корни находятся по разные стороны от (−1) — описывается неравенством то есть тогда или Возможно решение через теорему Виета.
Ответ:
Спрятать критерииКритерии проверки:Содержание критерия | Баллы |
---|
Обоснованно получен правильный ответ. | 20 |
При верном ходе решения ответ отличается от правильного одной точкой или правильный ответ недостаточно обоснован. | 15 |
Сделана замена переменной и на новую переменную определены правильные ограничения. Делаются попытки выписать какие-то ограничения для коэффициентов в связи с условиями на новую переменную, но они правильны только частично. | 10 |
Сделана замена переменной, задача сведена к исследованию квадратного трёхчлена с параметром, но рассуждения ограничиваются рассмотрением дискриминанта. | 5 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 10 |
Максимальный балл | 20 |
Ответ: