сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

При каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a урав­не­ние

 левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка | x минус 2,3| минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 2 левая круг­лая скоб­ка a минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка |x минус 2,3| минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс a минус 1=0

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим |x минус 2,3| минус 1=t левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , тогда ис­ход­ное урав­не­ние при­мет вид:

 левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те минус 2 левая круг­лая скоб­ка a минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка t плюс a минус 1=0. \qquad левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка

Про­ана­ли­зи­ру­ем урав­не­ние (1): при t мень­ше минус 1 оно не имеет ре­ше­ний; при t= минус 1  — одно ре­ше­ние x=2,3; каж­до­му t боль­ше минус 1 со­от­вет­ству­ет два раз­лич­ных зна­че­ния x. Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние может иметь от нуля до четырёх ре­ше­ний. Оно имеет два раз­лич­ных корня в сле­ду­ю­щих трёх слу­ча­ях для урав­не­ния (2):

1)  ли­ней­ный слу­чай, если един­ствен­ный ко­рень боль­ше (−1);

2)  когда D=0 и  t_в боль­ше минус 1;

3)  урав­не­ние (2) имеет два раз­лич­ных корня, один из ко­то­рых боль­ше (−1), а дру­гой мень­ше (−1). Слу­чай, когда один ко­рень боль­ше (−1), а дру­гой равен (−1) нам не под­хо­дит, так как при этом будет три ре­ше­ния.

Ис­сле­ду­ем пе­ре­чис­лен­ные выше слу­чаи:

1)  при a= минус 1, по­лу­ча­ем 8 t минус 2=0, то есть  t= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби боль­ше минус 1 сле­до­ва­тель­но, дан­ное зна­че­ние па­ра­мет­ра вклю­ча­ет­ся в ответ;

2)  при

 дробь: чис­ли­тель: D, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = левая круг­лая скоб­ка a минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =10 минус 6 a=0,

по­лу­ча­ем a= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Един­ствен­ный ко­рень  — t_в= дробь: чис­ли­тель: a минус 3, зна­ме­на­тель: a плюс 1 конец дроби , зна­чит,

t_6 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус 3, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 1 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше минус 1,

тогда  a= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби вклю­ча­ем в ответ;

3)  общий слу­чай  — корни на­хо­дят­ся по раз­ные сто­ро­ны от (−1)  — опи­сы­ва­ет­ся не­ра­вен­ством  левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка −1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0, то есть  f левая круг­лая скоб­ка −1 пра­вая круг­лая скоб­ка =4 a минус 6 , тогда  левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 4 a минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0 или  a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка −1; дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка . Воз­мож­но ре­ше­ние через тео­ре­му Виета.

 

Ответ:  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Со­дер­жа­ние кри­те­рия Баллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.20
При вер­ном ходе ре­ше­ния ответ от­ли­ча­ет­ся от пра­виль­но­го одной точ­кой или пра­виль­ный ответ не­до­ста­точ­но обос­но­ван.15
Сде­ла­на за­ме­на пе­ре­мен­ной и на новую пе­ре­мен­ную опре­де­ле­ны пра­виль­ные огра­ни­че­ния. Де­ла­ют­ся по­пыт­ки вы­пи­сать какие-то огра­ни­че­ния для ко­эф­фи­ци­ен­тов в связи с усло­ви­я­ми на новую пе­ре­мен­ную, но они пра­виль­ны толь­ко ча­стич­но.10
Сде­ла­на за­ме­на пе­ре­мен­ной, за­да­ча све­де­на к ис­сле­до­ва­нию квад­рат­но­го трёхчле­на с па­ра­мет­ром, но рас­суж­де­ния огра­ни­чи­ва­ют­ся рас­смот­ре­ни­ем дис­кри­ми­нан­та.5
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше. 10
Мак­си­маль­ный балл20