РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3573 Добавить в вариант

Найдите наименьшее значение выражения: $x в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс y в степени левая круглая скобка y правая круглая скобка ,$ если $x плюс y=1$ и $x, y принадлежит левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

$дробь: числитель: f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс f левая круглая скобка y правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби больше или равно f левая круглая скобка дробь: числитель: b минус a, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ,$

$f левая круглая скобка b правая круглая скобка минус f левая круглая скобка a правая круглая скобка =f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка альфа правая круглая скобка левая круглая скобка b минус a правая круглая скобка .$

1.  При $a=x$ и $b= дробь: числитель: x плюс y, знаменатель: 2 конец дроби :$ существует α, при котором

$f левая круглая скобка дробь: числитель: x плюс y, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус f левая круглая скобка x правая круглая скобка =f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка альфа правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: y минус x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

2.  При $a= дробь: числитель: x плюс y, знаменатель: 2 конец дроби$ и $b=x:$ существует β, при котором

$f левая круглая скобка y правая круглая скобка минус f левая круглая скобка дробь: числитель: x плюс y, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка бета правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: y минус x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Тогда $альфа меньше бета ,$

$2 f левая круглая скобка дробь: числитель: x плюс y, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус f левая круглая скобка x правая круглая скобка минус f левая круглая скобка y правая круглая скобка = левая круглая скобка f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка альфа правая круглая скобка минус f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка бета правая круглая скобка правая круглая скобка дробь: числитель: y минус x, знаменатель: 2 конец дроби . \qquad левая круглая скобка 4 правая круглая скобка$

3.  При $a= альфа ,$ $b= бета ,$ $альфа меньше бета ,$ $x меньше y:$ существует $гамма принадлежит левая круглая скобка альфа , бета правая круглая скобка :$ (4) есть $f в степени левая круглая скобка \prime \prime правая круглая скобка левая круглая скобка гамма правая круглая скобка дробь: числитель: y минус x, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка альфа минус бета правая круглая скобка меньше 0.$ Значит,

$f в степени левая круглая скобка \prime \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \prime \prime правая круглая скобка = левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка левая круглая скобка натуральный логарифм x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка =x в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка натуральный логарифм x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка больше 0,$

$f левая круглая скобка дробь: числитель: x плюс y, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно дробь: числитель: f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс f левая круглая скобка y правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби ,$

$дробь: числитель: f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс f левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$

$f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ,$

$x в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс y в степени левая круглая скобка y правая круглая скобка больше или равно 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ;$

$x плюс y=1.$

Ответ: $корень из 2 .$

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Анализ. Производная и наибольшее / наименьшее значения

Спрятать решение · Помощь