РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3467 Добавить в вариант

Две окружности касаются внешним образом в точке A. Найти радиусы окружностей, если хорды, соединяющие точку A с точками касания одной из общих внешних касательных, равны 6 см и 8 см.

Спрятать решение

Решение.

Пусть $R=O_1 B$ и $r=O_2 C$   — искомые радиусы. Проведем общую касательную АМ. Точку пересечения BA и MO₁ обозначим N. Тогда

$A M в квадрате = левая круглая скобка 0,5 A C правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 0,5 A B правая круглая скобка в квадрате =3 в квадрате плюс 4 в квадрате =25,$

откуда $A M=B M=M C=5$ см и $M N=3$ см.

В треугольнике O₁BM: $O_1 M в квадрате =R в квадрате плюс M B в квадрате$ или $O_1 M в квадрате =R в квадрате плюс 25.$

В треугольнике O₁NB: $R в квадрате =O_1 N в квадрате плюс B N в квадрате$ или $R в квадрате = левая круглая скобка O_1 M минус 3 правая круглая скобка в квадрате плюс 16.$

Из этих двух этих равенств находим, что $O_1 M= дробь: числитель: 25, знаменатель: 3 конец дроби$ см, а значит $R= дробь: числитель: 20, знаменатель: 3 конец дроби .$ Проведем прямую O₂D параллельную прямой BC. В треугольнике O₁DO₂:

$левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка R минус r правая круглая скобка в квадрате плюс O_2 D в квадрате$

или

$левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка R минус r правая круглая скобка в квадрате плюс 10 в квадрате .$

Отсюда найдем, что $r= дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби$ см.

Ответ: $дробь: числитель: 20, знаменатель: 3 конец дроби$ см и $дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби$ см.

Олимпиада Газпром, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности касающиеся

Спрятать решение · Помощь