РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3432 Добавить в вариант

Решить уравнение: $корень 4 степени из: начало аргумента: 514 минус x конец аргумента плюс корень 4 степени из: начало аргумента: 192 плюс x конец аргумента =8.$

Спрятать решение

Решение.

Пусть $корень 4 степени из: начало аргумента: 514 минус x конец аргумента =u$ и $корень 4 степени из: начало аргумента: 192 плюс x конец аргумента =v.$ Получаем систему:

$система выражений u плюс v=8, u в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс v в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =706. конец системы .$

Получилась симметрическая система.

Сделаем замену: $u плюс v=a=8$ и $u умножить на v=b.$ Преобразуем левую часть второго уравнения:

$u в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс v в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =u в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 2 u в квадрате v в квадрате плюс v в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 2 u в квадрате v в квадрате = левая круглая скобка u в квадрате плюс v в квадрате правая круглая скобка в квадрате минус 2 левая круглая скобка u v правая круглая скобка в квадрате =$
$= левая круглая скобка u в квадрате плюс 2 u v плюс v в квадрате минус 2 u v правая круглая скобка в квадрате минус 2 b в квадрате = левая круглая скобка левая круглая скобка u плюс v правая круглая скобка в квадрате минус 2 u v правая круглая скобка в квадрате минус 2 b в квадрате = левая круглая скобка 8 в квадрате минус 2 b правая круглая скобка в квадрате минус 2 b в квадрате =$
$=64 в квадрате минус 256 b плюс 4 b в квадрате минус 2 b в квадрате =2 левая круглая скобка b в квадрате минус 128 b плюс 64 умножить на 32 правая круглая скобка =706.$ $u в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс v в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =u в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 2 u в квадрате v в квадрате плюс v в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 2 u в квадрате v в квадрате =$
$= левая круглая скобка u в квадрате плюс v в квадрате правая круглая скобка в квадрате минус 2 левая круглая скобка u v правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка u в квадрате плюс 2 u v плюс v в квадрате минус 2 u v правая круглая скобка в квадрате минус 2 b в квадрате =$
$= левая круглая скобка левая круглая скобка u плюс v правая круглая скобка в квадрате минус 2 u v правая круглая скобка в квадрате минус 2 b в квадрате = левая круглая скобка 8 в квадрате минус 2 b правая круглая скобка в квадрате минус 2 b в квадрате =$
$=64 в квадрате минус 256 b плюс 4 b в квадрате минус 2 b в квадрате =2 левая круглая скобка b в квадрате минус 128 b плюс 64 умножить на 32 правая круглая скобка =706.$ $u в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс v в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =u в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 2 u в квадрате v в квадрате плюс v в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 2 u в квадрате v в квадрате =$
$= левая круглая скобка u в квадрате плюс v в квадрате правая круглая скобка в квадрате минус 2 левая круглая скобка u v правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка u в квадрате плюс 2 u v плюс v в квадрате минус 2 u v правая круглая скобка в квадрате минус 2 b в квадрате =$
$= левая круглая скобка левая круглая скобка u плюс v правая круглая скобка в квадрате минус 2 u v правая круглая скобка в квадрате минус 2 b в квадрате =$
$= левая круглая скобка 8 в квадрате минус 2 b правая круглая скобка в квадрате минус 2 b в квадрате =64 в квадрате минус 256 b плюс 4 b в квадрате минус 2 b в квадрате =$
$=2 левая круглая скобка b в квадрате минус 128 b плюс 64 умножить на 32 правая круглая скобка =706.$ $u в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс v в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =u в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 2 u в квадрате v в квадрате плюс v в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 2 u в квадрате v в квадрате =$
$= левая круглая скобка u в квадрате плюс v в квадрате правая круглая скобка в квадрате минус 2 левая круглая скобка u v правая круглая скобка в квадрате =$
$= левая круглая скобка u в квадрате плюс 2 u v плюс v в квадрате минус 2 u v правая круглая скобка в квадрате минус 2 b в квадрате =$
$= левая круглая скобка левая круглая скобка u плюс v правая круглая скобка в квадрате минус 2 u v правая круглая скобка в квадрате минус 2 b в квадрате = левая круглая скобка 8 в квадрате минус 2 b правая круглая скобка в квадрате минус 2 b в квадрате =$
$=64 в квадрате минус 256 b плюс 4 b в квадрате минус 2 b в квадрате =$
$=2 левая круглая скобка b в квадрате минус 128 b плюс 64 умножить на 32 правая круглая скобка =706.$