РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3332 Добавить в вариант

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x минус 3 корень 3 степени из: начало аргумента: x конец аргумента$ на отрезке [0, 8].

Спрятать решение

Решение.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x минус 3 корень 3 степени из: начало аргумента: x конец аргумента$ на отрезке [0, 8], надо найти ее стационарные точки на интервале (0, 8), вычислить значения функции в стационарных точках и на концах отрезка и выбрать из полученных значений наибольшее и наименьшее. Найдем

$f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x правая круглая скобка =1 минус 3 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка =1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень 3 степени из: начало аргумента: x в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: корень 3 степени из: начало аргумента: x в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента правая круглая скобка минус 1, знаменатель: корень 3 степени из: начало аргумента: x в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента правая круглая скобка конец дроби =0 \Rightarrow корень 3 степени из: начало аргумента: x в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента правая круглая скобка =1 \Rightarrow x в квадрате =1 \Rightarrow x=\pm 1.$ $f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x правая круглая скобка =1 минус 3 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка =1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень 3 степени из: начало аргумента: x в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: корень 3 степени из: начало аргумента: x в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента правая круглая скобка минус 1, знаменатель: корень 3 степени из: начало аргумента: x в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента правая круглая скобка конец дроби =0 \Rightarrow$
$\Rightarrow корень 3 степени из: начало аргумента: x в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента правая круглая скобка =1 \Rightarrow x в квадрате =1 \Rightarrow x=\pm 1.$

Итак, имеем две стационарные точки, из которых рассматриваем только $x=1 принадлежит левая круглая скобка 0, 8 правая круглая скобка .$ Вычислим $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0,$ $f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = минус 2,$ $f левая круглая скобка 8 правая круглая скобка =2 .$ Сравнив эти три числа, получим ответ.

Ответ: наибольшее значение функции $f левая круглая скобка 8 правая круглая скобка =2,$ наименьшее $f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = минус 2.$

Олимпиада Гранит науки, 9, 10, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2016 год

Классификатор: Анализ. Исследование функций при помощи производной

Спрятать решение · Помощь