РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3310 Добавить в вариант

Решить уравнение $2 синус в кубе x минус 3 синус x косинус x=0.$

Спрятать решение

Решение.

Вынесем $синус x$ за скобки:

$синус x левая круглая скобка 2 синус в квадрате x минус 3 косинус x правая круглая скобка =0.$

Заменим $синус в квадрате x=1 минус косинус в квадрате x,$ получим

$синус x левая круглая скобка 2 минус 2 косинус в квадрате x минус 3 косинус x правая круглая скобка =0.$

Отсюда $синус x=0,$ то есть $x= Пи k$ или

$2 косинус в квадрате x плюс 3 косинус x минус 2=0.$

Обозначим $косинус x=y$ и $|y| меньше или равно 1$ (так как $| косинус x| меньше или равно 1 правая круглая скобка .$ Тогда $2 y в квадрате плюс 3 y минус 2=0.$ Находим корни уравнения $a x в квадрате плюс b x плюс c=0$ по формуле

$x_1, 2= дробь: числитель: минус b \pm корень из: начало аргумента: b в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус 4 a c правая круглая скобка , знаменатель: 2 a конец дроби$

$y_1, 2= дробь: числитель: минус 3 \pm корень из: начало аргумента: 9 плюс 16 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: минус 3 \pm 5, знаменатель: 4 конец дроби .$

Корень $y_1= минус 2 \quad$ не удовлетворяет условию $|y| меньше или равно 1,$ корень $y_2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Тогда

$косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \Rightarrow x=\pm арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n равносильно x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, n принадлежит Z .$

Ответ: $левая фигурная скобка Пи k; \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n : k, n принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Олимпиада Гранит науки, 9, 10, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2016 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Тригонометрические уравнения, Методы алгебры. Преобразования выражений, Методы тригонометрии. Понижение порядка

Спрятать решение · Помощь