РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3129 Добавить в вариант

Решить уравнение $1 плюс косинус x плюс косинус 2x=0.$

Спрятать решение

Решение.

Для решения уравнения используем формулу двойного угла $косинус 2 x=2 косинус в квадрате x минус 1.$ Получим

$1 плюс косинус x плюс левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно 2 косинус в квадрате x плюс косинус x=0 равносильно косинус x левая круглая скобка 2 косинус x плюс 1 правая круглая скобка =0.$ $1 плюс косинус x плюс левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате x плюс косинус x=0 равносильно косинус x левая круглая скобка 2 косинус x плюс 1 правая круглая скобка =0.$

Возможны два случая:

1)   $косинус x=0 \Rightarrow x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z ;$

2)   $2 косинус x плюс 1=0 равносильно косинус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x=\pm арккосинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи n равносильно x=\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, n принадлежит Z .$

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; \pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n : k, n принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Олимпиада Гранит науки, 9, 10, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2016 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Тригонометрические уравнения, Методы алгебры. Преобразования выражений, Методы тригонометрии. Формулы двойных углов

Спрятать решение · Помощь