СДАМ ГИА: РЕШУ ОЛИМП
Сайт в разработке
Математика
математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 0 № 3073

Все натуральные числа, сумма цифр каждого из которых равна 5, упорядочили по возрастанию. Какое число стоит на 125-м месте?

Спрятать решение

Решение.

Подсчитаем количество n-значных чисел, сумма цифр каждого из которых равна 5, для каждого натурального n. Вычтем из старшего разряда 1, получим число (которое может теперь начинаться с нуля), сумма цифр которого равна 4. Представим разряды этого числа в виде ячеек, в каждой из которых лежит число шаров, равное цифре, стоящей в соответствующем разряде. Разложить таким образом 4 шара по n ячейкам — это то же самое, что между 4 шарами установить n минус 1 перегородку (между некоторыми перегородками п аров может не быть вовсе). Это можно сделать

C_n плюс 3 в степени (4) = дробь: числитель: (n плюс 3)(n плюс 2)(n плюс 1) n, знаменатель: 24 конец дроби

способами, столько же существует искомых n-значных чисел.

При n=1, 2, 3, 4, 5 получаем соответственно C_4 в степени (4) =1, C_5 в степени (4) =5,  C_6 в степени (4) =15,  C_7 в степени (4) =35,  C_8 в степени (4) =70, итого 126 чисел. На 126-м месте стоит набольшее пятизначное такое число, то есть 50 000. Значит, на 125-м месте стоит предыдущее — 41 000.

 

Ответ: 41 000.

Класс: 9