РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2932 Добавить в вариант

На прямой $x минус y=5$ найдите точку, через которую проходят две перпендикулярные друг другу касательные к графику функции $y= дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 8 конец дроби .$ Напишите уравнения этих касательных.

Спрятать решение

Решение.

Пусть $y=a x в квадрате ,$ $A левая круглая скобка x_1; y_1 правая круглая скобка ,$ $B левая круглая скобка x_2; y_2 правая круглая скобка$   — точки касания, $C левая круглая скобка x_0; y_0 правая круглая скобка$   — точка пересечения касательных.

Уравнения касательных:

$y=a x_1 в квадрате плюс 2 a левая круглая скобка x минус x_1 правая круглая скобка ,$ или $y=2 a x_1 x минус a x_1 в квадрате ;$

$y=a x_2 в квадрате плюс 2 a левая круглая скобка x минус x_2 правая круглая скобка ,$ или $y=2 a x_2 x минус a x_2 в квадрате .$

Из системы уравнений

$система выражений y_0=2ax_1x_0 минус ax_1 в квадрате ,y_0=2ax_2x_0 минус ax_2 в квадрате конец системы .$

находим $x_0= дробь: числитель: x_1 плюс x_2, знаменатель: 2 конец дроби$ и $y_0=ax_1x_2.$

По условию перпендикулярности касательных $2 a x_1 умножить на 2 a x_2= минус 1,$ отсюда получаем $y_0= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 a конец дроби .$ Из уравнения заданной прямой находим $x_0.$

Для отыскания x₁ и x₂ используем квадратное уравнение

$x в квадрате минус 2 x_0 x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 a в квадрате конец дроби =0.$

Отсюда

$x_1, 2=x_0 \pm корень из: начало аргумента: x_0 конец аргумента в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 a в квадрате конец дроби .$

Ответ: $a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ,$ $y_0= минус 2,$ $x_0=5 плюс y_0=3 ,$ $x_1=8,$ $x_2= минус 2.$

Олимпиада Шаг в будущее, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2017 год

Классификатор: Анализ. Касательная

Спрятать решение · Помощь