РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2857 Добавить в вариант

Решите уравнение $\ctg 2x корень из: начало аргумента: синус x косинус x конец аргумента минус корень из: начало аргумента: 1 минус синус x косинус x конец аргумента =0.$

Спрятать решение

Решение.

При условии $\ctg 2 x больше или равно 0$ возводим в квадрат обе части уравнения $левая круглая скобка 1 минус синус x косинус x больше 0$ для всех x):

$\ctg в квадрате 2 x синус x косинус x=1 минус синус x косинус x равносильно \ctg в квадрате 2 x синус 2 x=2 минус синус 2 x равносильно синус 2 x не равно q 0,$ $\ctg в квадрате 2 x синус x косинус x=1 минус синус x косинус x равносильно$
$равносильно \ctg в квадрате 2 x синус 2 x=2 минус синус 2 x равносильно синус 2 x не равно q 0,$

отсюда

$косинус в квадрате 2 x= синус 2 x левая круглая скобка 2 минус синус 2 x правая круглая скобка равносильно синус 2 x левая круглая скобка 2 минус синус 2 x правая круглая скобка =1 минус синус в квадрате 2 x равносильно$
$равносильно синус 2 x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 2 x= левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n, n принадлежит Z .$ $косинус в квадрате 2 x= синус 2 x левая круглая скобка 2 минус синус 2 x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно синус 2 x левая круглая скобка 2 минус синус 2 x правая круглая скобка =1 минус синус в квадрате 2 x равносильно синус 2 x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно 2 x= левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n, n принадлежит Z .$

С учетом условия $\ctg 2 x больше или равно 0$ окончательно имеем $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс Пи n,$ $n принадлежит Z .$

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс Пи n : n принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Аналоги к заданию № 2857: 2857 2857 Все

Олимпиада Шаг в будущее, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Тригонометрия + иррациональности, Методы тригонометрии. Формулы двойных углов

Спрятать решение · Прототип задания · Помощь