РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2598 Добавить в вариант

При каком $альфа принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая квадратная скобка$ числа $дробь: числитель: синус альфа , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $косинус альфа ,$ $тангенс альфа$ являются членами геометрической прогрессии. В ответе записать значение $дробь: числитель: 6 альфа , знаменатель: Пи конец дроби .$

Варианты ответов:

а	б	в	г	д
−2	−1	0	1	2

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что

$косинус в квадрате альфа = дробь: числитель: синус альфа , знаменатель: 6 конец дроби умножить на тангенс альфа ,$

выполняем универсальную подстановку

$тангенс в квадрате альфа =t,$ $синус в квадрате альфа = дробь: числитель: t, знаменатель: t плюс 1 конец дроби ,$ $косинус в квадрате альфа = дробь: числитель: t в квадрате , знаменатель: t плюс 1 конец дроби .$

Получаем

$левая круглая скобка дробь: числитель: 6, знаменатель: t плюс 1 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: t в квадрате , знаменатель: t плюс 1 конец дроби$

или

$t в кубе плюс t в квадрате минус 36=0 \Rightarrow левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате плюс 4 t плюс 12 правая круглая скобка =0 \Rightarrow t=3.$

Имеем $тангенс в квадрате альфа =3,$ то есть $альфа =\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k.$ В итоге $дробь: числитель: 6 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: Пи конец дроби = минус 2.$

Ответ: −2.

Олимпиада Газпром, 10 класс, 1 тур (отборочный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Задачи о тригонометрических функциях, Методы алгебры. Замена переменной, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Помощь