РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2519 Добавить в вариант

Найти наименьшее и наибольшее значения функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = синус x в степени 8 плюс косинус x в степени 8 .$ В ответе указать модуль их разности.

Варианты ответов:

а	б	в	г	д
0,875	0,125	0,25	0,5	1

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем исходное выражение:

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка = синус в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка x плюс косинус в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка x= левая круглая скобка синус в квадрате x плюс косинус в квадрате x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус синус в квадрате x умножить на косинус в квадрате x умножить на левая круглая скобка 4 левая круглая скобка синус в квадрате x плюс косинус в квадрате x правая круглая скобка в квадрате минус 2 синус в квадрате x умножить на косинус в квадрате x правая круглая скобка .$ $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = синус в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка x плюс косинус в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка x=$
$= левая круглая скобка синус в квадрате x плюс косинус в квадрате x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус синус в квадрате x умножить на косинус в квадрате x умножить на левая круглая скобка 4 левая круглая скобка синус в квадрате x плюс косинус в квадрате x правая круглая скобка в квадрате минус 2 синус в квадрате x умножить на косинус в квадрате x правая круглая скобка .$

Пусть $t= синус в квадрате x умножить на косинус в квадрате x.$ Тогда

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка =1 минус t умножить на левая круглая скобка 4 минус 2 t правая круглая скобка =1 минус 4 t плюс 2 t в квадрате =g левая круглая скобка t правая круглая скобка .$

Заметим, что $t= дробь: числитель: левая круглая скобка синус в квадрате 2 x правая круглая скобка , знаменатель: 4 конец дроби ,$ переменная t принимает значения $левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка .$ Функция g на этом отрезке монотонно убывает. Таким образом, значения на отрезке будут $g левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =1$ и $g левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби .$ Модуль разности этих значений

$\left|1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби |= дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби =0,875.$

Ответ: 0,875.

Олимпиада Газпром, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Задачи о тригонометрических функциях, Методы алгебры. Замена переменной, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Помощь