РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2508 Добавить в вариант

Найти значение выражения:

$2016 в квадрате минус 2014 в квадрате плюс 2012 в квадрате минус 2010 в квадрате плюс 2008 в квадрате минус 2006 в квадрате плюс ... минус 1998 в квадрате .$

Варианты ответов:

а	б	в	г	д
2016²	2016!	20 070	40 032	40 140

Спрятать решение

Решение.

Сгруппируем слагаемые:

$2016 в квадрате минус 2014 в квадрате плюс 2012 в квадрате минус 2010 в квадрате плюс 2008 в квадрате минус 2006 в квадрате плюс \ldots минус 1998 в квадрате =$
$= левая круглая скобка 2016 в квадрате минус 2014 в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2012 в квадрате минус 2010 в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2008 в квадрате минус 2006 в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2004 в квадрате минус 2002 в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2000 в квадрате минус 1998 в квадрате правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка 2016 минус 2014 правая круглая скобка левая круглая скобка 2016 плюс 2014 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2012 минус 2010 правая круглая скобка левая круглая скобка 2012 плюс 2010 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2008 минус 2006 правая круглая скобка левая круглая скобка 2008 плюс 2006 правая круглая скобка плюс \ldots=$
$=2 умножить на 4030 плюс 2 умножить на 4022 плюс 2 умножить на 4014 плюс 2 умножить на 4006 плюс \ldots$

Заметим, что числа 4030, 4022, 4014, 4006, ... образуют арифметическую прогрессию, у которой $a_1=4030$ и $a_5=3998.$ Найдем сумму первых пяти членов арифметической прогрессии:

$S_5= дробь: числитель: a_1 плюс a_5, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5= дробь: числитель: 4030 плюс 3998, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5=20 070.$

Итого:

$2016 в квадрате минус 2014 в квадрате плюс 2012 в квадрате минус 2010 в квадрате плюс \ldots минус 1998 в квадрате =20070 умножить на 2=40 140.$

Ответ: 40 140.

Олимпиада Газпром, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2017 год

Классификатор: Алгебра. Действия с числами, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Помощь