РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2337 Добавить в вариант

При проектировании некоторого технического устройства возникла необходимость решать уравнения

$a \circ x=b,$

где операция над двумя числами определена условием

$y \circ z= дробь: числитель: y плюс z плюс |y минус z|, знаменатель: 2 конец дроби .$

Найдите все числовые множества X такие, что для любых a, b из X указанное уравнение имеет единственный корень x и этот корень принадлежит множеству X.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что

$y \circ z=\max левая фигурная скобка y, z правая фигурная скобка .$

Далее, подходит любое одноэлементное множество $X= левая фигурная скобка a правая фигурная скобка ,$ где $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; бесконечность правая круглая скобка ,$ так как $\max левая фигурная скобка a, a правая фигурная скобка =a.$

Допустим, что множество X содержит по крайней мере два различных элемента a и b. Не ограничивая общности, полагаем $a больше b .$ Для таких a и b уравнение (1) не имеет решения, так как $\max левая фигурная скобка a, x правая фигурная скобка больше или равно a.$

Ответ: в точности все одноэлементные множества $X= левая фигурная скобка a правая фигурная скобка ,$ $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Вид погрешности или ошибки	Отметка в работе	Баллы
Каждая задача оценивается по 10-балльной шкале и снабжается отметкой в работе 0, −, ∓, ±, + в соответствии с критериями.
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения	+	10
Решение верное, но путь не рационален или имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	+	9
Решение верное, но путь не рационален и имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	±	7−8
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено	∓	5−6
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный)	∓	3−4
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато  — без ошибок	−	2
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата	−	1
Задача не решилась	0	0
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки:    I.  Логические, приводящие к неверному заключению.   II.  Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III.  Неверный чертеж в геометрических задачах. IV.  Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем.

Олимпиада школьников Надежда энергетики, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Разное. Логические уравнения

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь