РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1972 Добавить в вариант

В квадратной таблице из 2015 строк и столбцов расставлены положительные числа. Произведение чисел в каждой строке и в каждом столбце равно 2, а произведение чисел в любом квадрате 3 × 3 равно 1. Какое число стоит в центре таблицы?

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим первые 3 строки таблицы. Из дополнительного условия следует, что если покрывать эти строки «встык» квадратами размер а $3 \times 3,$ двигаясь одновременно слева и справ а навстречу, то 336-й квадрат слева и 336-й квадрат справа перекроются одним столбцом, так как $левая круглая скобка 336 умножить на 3 правая круглая скобка 2=2015 плюс 1.$ Обозначим произведение чисел в этом столбике (их 3 штуки) через M.

Тогда произведение всех чисел в первых 3 -х строках таблицы равно, с одной стороны, $2 в кубе ,$ а с другой стороны, $дробь: числитель: 1 , знаменатель: M конец дроби .$ Таким образом, $M= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в кубе конец дроби .$

Теперь рассмотрим средний (1008-й) столбец таблицы. Он ан алогичным образом разбивается на $336 умножить на 2$ блоков по 3 элемент а, которые перекрываются на центральном элементе таблицы (если двигаться сверху и снизу навстречу). Обозначим этот элемент C. Произведение всех чисел этого столбца равно 2. Поэтому $2= дробь: числитель: M в степени левая круглая скобка 2,336 правая круглая скобка , знаменатель: C конец дроби .$ Откуда

$C= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 2 умножить на 336 умножить на 3 правая круглая скобка конец дроби =2 в степени левая круглая скобка минус 2017 правая круглая скобка .$

Ответ: в центре таблицы стоит число 2⁻²⁰¹⁷.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

1.  Проверку и оценивание работ проводит Жюри Олимпиады.

2.  Задача оценивается по 10-балльной шкале и снабжается отметкой в работе 0, −, ∓, ±, + в соответствии с критериями.

Вид погрешности или ошибки	Отметка в работе	Баллы
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения	+	10
Решение верное, но путь не рационален или имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	+	9
Решение верное, но путь не рационален и имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	±	7−8
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено	∓	5−6
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный)	∓	3−4
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато  — без ошибок	−	2
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата	−	1
Задача не решилась	0	0

Недочеты  — незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки.

Негрубые ошибки  — технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов.

Грубые ошибки.

I.  Логические, приводящие к неверному заключению.

II.  Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа.

III.  Неверный чертеж в геометрических задачах.

IV.  Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем.

3.  Решение, приведенное в черновике или выполненное карандашом, не проверяется и не оценивается.

4.  По окончании проверки подсчитывается суммарная оценка работы как сумма оценок за задачи 1−5 с весом 2.

5.  Суммарная оценка проставляется на работу и подтверждается подписью члена Жюри.

Олимпиада школьников Надежда энергетики, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2016 год

Классификатор: Алгебра. Суммы и произведения

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь