РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Раскрасим вершины 2018-угольника в два цвета так, чтобы любые две соседние вершины были разного цвета. Если сумма углов при вершинах одного цвета равна сумме углов при вершинах другого цвета, будем называть такой 2018-угольник интересным. В выпуклом 2019-угольнике отметили одну вершину. Оказалось, что при удалении любой неотмеченной вершины остается интересный 2018-угольник. Докажите, что при удалении отмеченной вершины также остается интересный 2018-угольник.

Решение. Обозначим соседние вершины 2019-угольника буквами A, B, C и D (по часовой стрелке). Пусть вершины B и C не являются отмеченными. Рассмотрим углы 2019-угольника, идущие через один против часовой стрелки, начиная с A и заканчивая D. Обозначим их сумму через u. Рассмотрим оставшиеся углы, обозначим их сумму v. Поскольку при удалении вершины B получается интересный 2018-угольник, имеем равенство сумм углов

$u минус \angle C A B=v минус \angle A C B минус \angle A B C \qquad левая круглая скобка * правая круглая скобка$

(угол $\angle B$ не входит в этот многоугольник, а углы $\angle A$ и $\angle C$ надо уменьшить на $\angle C A B$ и $\angle A C B$ соответственно). Аналогично, поскольку при удалении вершины C получается интересный 2018-угольник, имеем равенство сумм углов

$u минус \angle C D B=v минус \angle C B D минус \angle B C D . \qquad левая круглая скобка ** правая круглая скобка$

Вычтем из равенства (**) равенство (*), получим

$\angle C A B минус \angle C D B=\angle A C B плюс \angle A B C минус \angle C B D минус \angle B C D=\angle A B D минус \angle A C D.$

Прибавив к нему верное равенство

$\angle C A B плюс \angle A B D=\angle C D B плюс \angle A C D,$

получим, что $\angle C A B=\angle C D B.$ Следовательно, четырехугольник $A B C D$ вписанный. Отметим также, что верно и обратное. А именно, если выполняется равенство (*) (т. е. 2018-угольник без вершины B  — интересный) и четырехугольник ABCD вписанный, то верно и равенство (**), а значит, 2018-угольник без вершины C  — интересный.

Последовательно действуя таким образом, мы докажем, что исходный 2019-угольник является вписанным. Следовательно, если рассмотреть отмеченную вершину P и соседнюю с ней вершину Q, то из интересности 2018-угольника без вершины Q и вписанности 2019-угольника мы получим, что 2018-угольник без вершины P  — интересный.

Ключ