РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1795 Добавить в вариант

Числа $x, y , z, t принадлежит левая круглая скобка 0, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка$   удовлетворяют условию

$косинус в квадрате x плюс косинус в квадрате y плюс косинус в квадрате y плюс косинус в квадрате t =1.$

Какое наименьшее значение может принимать величина

$\ctg x плюс \ctg y плюс \ctg z плюс \ctg t ?$

(А. Храбров)

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что

$\ctg x= дробь: числитель: косинус x, знаменатель: синус x конец дроби = дробь: числитель: 2 косинус в квадрате x, знаменатель: 2 синус x косинус x конец дроби = дробь: числитель: 2 косинус в квадрате x, знаменатель: синус 2 x конец дроби больше или равно 2 косинус в квадрате x .$

Следовательно,

$\ctg x плюс \ctg y плюс \ctg z плюс \ctg t больше или равно 2 левая круглая скобка косинус в квадрате x плюс косинус в квадрате y плюс косинус в квадрате z плюс косинус в квадрате t правая круглая скобка =2 .$

Стало быть, интересующая нас сумма всегда не меньше 2. С другой стороны, если $x=y= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби$ и $z=t= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ то

$косинус в квадрате x плюс косинус в квадрате y плюс косинус в квадрате z плюс косинус в квадрате t=2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 умножить на 0=1 ,$

$\ctg x плюс \ctg y плюс \ctg z плюс \ctg t=2 умножить на 1 плюс 2 умножить на 0=2 .$

Числа $x_1, x_2, \ldots, x_n принадлежит левая круглая скобка 0, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка$ удовлетворяют условию

$косинус в квадрате x_1 плюс косинус в квадрате x_2 плюс \ldots плюс косинус в квадрате x_n=1.$

Какое наименьшее значение может принимать величина

$\ctg x_1 плюс \ctg x_2 плюс \ldots плюс \ctg x_n ?$

Ответ: наименьшее значение равно 2.

Санкт-Петербургская олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Минимаксные задачи без производной, Методы тригонометрии. Формулы двойных углов

Спрятать решение · Помощь