РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1508 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, для каждого из которых найдётся число b такое, что система

$система выражений x в квадрате плюс y в квадрате плюс 2a левая круглая скобка a плюс y минус x правая круглая скобка =49,y= дробь: числитель: 8, знаменатель: левая круглая скобка x минус b правая круглая скобка в квадрате минус 1 конец дроби конец системы .$

имеет хотя бы одно решение (x; y).

Спрятать решение

Решение.

Первое уравнение системы может быть преобразовано к виду

$левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс a правая круглая скобка в квадрате =7 в квадрате ,$

следовательно, оно задаёт окружность радиуса 7 с центром $левая круглая скобка a ; минус a правая круглая скобка .$

Рассмотрим функцию, заданную вторым уравнением при $b=0 .$ В точке $x=0$ она принимает максимальное значение, равно 8. При увеличении x по модулю функция убывает и стремится к нулю при $x arrow бесконечность .$ Если изменять b, то график сдвигается на $|b|$ единиц влево или вправо. При всевозможных $b принадлежит R$ графики этих функций заметают полосу $0 меньше y меньше или равно 8.$

Для выполнения условия задачи необходимо и достаточно, чтобы окружность, задаваемая первым уравнением, имела хотя бы одну общую точку с данной полосой, откуда $a принадлежит левая квадратная скобка минус 15; 7 правая круглая скобка .$

Ответ: $левая квадратная скобка минус 15; 7 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Построено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы при фиксированном значении параметра (окружность) — 1 балл.

Построена полоса между двумя параллельными прямыми, представляющая собой объединение синусоид, задаваемых вторым уравнение при всевозможных значениях параметра — 2 балла.

Задача обоснованно сведена к следующей: «окружность, задаваемая первым уравнением, имеет хотя бы одну общую точку с этой полосой» — 3 балла.

Аналоги к заданию № 1508: 1564 Все

Олимпиада школьников Физтех, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2015 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Системы уравнений, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь