РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1495 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра b, для каждого из которых найдётся число a такое, что система

$система выражений x=\mid y минус b\mid плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: b конец дроби ,x в квадрате плюс y в квадрате плюс 32=a левая круглая скобка 2y минус a правая круглая скобка плюс 12x конец системы .$

имеет хотя бы одно решение (x; y).

Спрятать решение

Решение.

Второе уравнение системы может быть преобразовано к виду

$левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус a правая круглая скобка в квадрате =2 в квадрате ,$

следовательно, оно задаёт окружность радиуса 2 с центром $левая круглая скобка 6 ; a правая круглая скобка .$ При всевозможных $a принадлежит R$ эти окружности заметают полосу $4 меньше или равно x меньше или равно 8 .$

Первое уравнение задаёт «уголок» с ветвями, направленными вправо, с вершиной в точке $левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: b конец дроби ; b правая круглая скобка .$ Для выполнения условия задачи необходимо и достаточно, чтобы «уголок», задаваемый первым уравнением, имел хотя бы одну общую точку с полосой $4 меньше или равно x меньше или равно 8,$ а для этого нужно, чтобы абсцисса его вершины удовлетворяла неравенству $x_в меньше или равно 8,$ то есть $дробь: числитель: 3, знаменатель: b конец дроби меньше или равно 8$ откуда $b принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ: $b принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Построено множество точек, удовлетворяющих второму уравнению системы при фиксированном значении параметра (окружность) — 1 балл.

Построена полоса между двумя параллельными прямыми, представляющая собой объединение окружностей, задаваемых вторым уравнением при всевозможных действительных значениях параметра — 1 балл.

Задача обоснованно сведена к следующей «график функции, задаваемой первым уравнением, имеет хотя бы одну общую точку с этой плоскости» — 3 балла.

Аналоги к заданию № 1495: 1501 Все

Олимпиада школьников Физтех, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2015 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Системы уравнений, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь