Впи­шем дан­ный мно­го­уголь­ник K₁K₂, ...., K₂₀ в окруж­ность. Каж­дый четырёхуголь­ник с парой па­рал­лель­ных сто­рон опре­де­ля­ет­ся парой па­рал­лель­ных хорд с кон­ца­ми в точ­ках K₁K₂, ...., K₂₀.

Рас­смот­рим хорду, со­еди­ня­ю­щую две со­сед­ние вер­ши­ны мно­го­уголь­ни­ка, на­при­мер, K₆K₈. Су­ще­ству­ют ещё 9 хорд, па­рал­лель­ных ей (K₅K₈ и т. д.), т. е. по­лу­ча­ет­ся набор из 10 па­рал­лель­ных друг другу хорд. Из них можно об­ра­зо­вать пар па­рал­лель­ных от­рез­ков.

Ана­ло­гич­ные на­бо­ры мы по­лу­чим, если будем рас­смат­ри­вать все хорды, па­рал­лель­ные K₁K₂, ...., K₁₀K₁₁  — всего 10 таких на­бо­ров. Те­перь возьмём хорду, со­еди­ня­ю­щую вер­ши­ны, на­хо­дя­щи­е­ся через одну друг от друга, на­при­мер, K₆K₈ Су­ще­ству­ют ещё 8 хорд, па­рал­лель­ных ей (K₅K₉ и т. д.), т. е. по­лу­ча­ет­ся набор из 9 па­рал­лель­ных друг другу хорд. Из них можно об­ра­зо­вать пар па­рал­лель­ных от­рез­ков. Этих на­бо­ров также 10.

В итоге по­лу­ча­ем четырёхуголь­ни­ков. При таком спо­со­бе подсчёта пря­мо­уголь­ни­ки ока­за­лись учте­ны два­жды. За­ме­тим, что обе диа­го­на­ли впи­сан­но­го в окруж­ность пря­мо­уголь­ни­ка яв­ля­ют­ся диа­мет­ра­ми, всего диа­мет­ров с вер­ши­на­ми в дан­ных точ­ках 10, и таким об­ра­зом, вы­хо­дит пря­мо­уголь­ни­ков. По­лу­ча­ем четырёхуголь­ни­ков, име­ю­щих хотя бы одну пару па­рал­лель­ных сто­рон.

Ответ: 765.