РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1433 Добавить в вариант

Решите уравнение

$дробь: числитель: 2 синус 3x, знаменатель: синус x конец дроби минус дробь: числитель: косинус 3x, знаменатель: косинус 3x конец дроби =5 \mid косинус x \mid.$

Спрятать решение

Решение.

Данное уравнение при условии $косинус x синус x не равно q 0$ равносильно каждому из следующих:

$дробь: числитель: 2 левая круглая скобка 3 синус x минус 4 синус в кубе x правая круглая скобка , знаменатель: синус x конец дроби минус дробь: числитель: левая круглая скобка 4 косинус в кубе x минус 3 косинус x правая круглая скобка , знаменатель: косинус x конец дроби =5| косинус x| равносильно$

$равносильно 6 минус 8 синус в квадрате x минус 4 косинус в квадрате x плюс 3=5| косинус x| равносильно 4 косинус в квадрате x минус 5| косинус x| плюс 1=0 .$

Решая последнее уравнение как квадратное относительно $| косинус x|,$ получаем что $| косинус x|=1$ или $| косинус x|= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$ Первый случай не удовлетворяет ОДЗ (так как если $| косинус x|=1,$ то $синус x=0 правая круглая скобка .$ Из второго уравнения находим, что $x=\pm арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс k Пи ,$ где $k принадлежит \mathrmZ.$